Rumus Distribusi Binomial

Rumus untuk Menghitung Distribusi Binomial

Rumus Distribusi Binomial digunakan untuk menghitung probabilitas mendapatkan x keberhasilan pada n uji coba eksperimen binomial yang independen dan probabilitas diperoleh dengan kombinasi jumlah uji coba dan jumlah keberhasilan yang diwakili oleh nCx dikalikan dengan probabilitas keberhasilan yang dimunculkan pangkat jumlah keberhasilan yang diwakili oleh px yang selanjutnya dikalikan dengan probabilitas kegagalan dipangkatkan ke pangkat selisih antara jumlah keberhasilan dan jumlah percobaan yang diwakili oleh (1-p) nx.

Probabilitas memperoleh x keberhasilan dalam n uji coba independen dari eksperimen binomial diberikan oleh rumus distribusi binomial berikut:

P (X) = n C x px (1-p) nx

dimana p adalah kemungkinan sukses

Dalam persamaan di atas, digunakan n C x , yang tidak lain adalah rumus kombinasi. Rumus untuk menghitung kombinasi diberikan sebagai n C x = n! / x! (nx)!  di mana n mewakili jumlah item (uji coba independen) dan x mewakili jumlah item yang dipilih pada suatu waktu (keberhasilan).

Dalam kasus n = 1 dalam distribusi binomial, distribusi tersebut dikenal sebagai distribusi Bernoulli. Rata-rata dari distribusi binomial adalah np. Varians dari distribusi binomial adalah np (1-p).

Perhitungan Distribusi Binomial (Langkah demi Langkah)

Perhitungan distribusi binomial dapat diturunkan dengan menggunakan empat langkah sederhana berikut:

  • Langkah 1: Hitung kombinasi antara jumlah percobaan dan jumlah keberhasilan. Rumus untuk n C x adalah dimana n! = n * (n-1) * (n-2). . . * 2 * 1. Untuk bilangan n, faktorial dari n dapat ditulis sebagai, n! = n * (n-1)! Misalnya, 5! adalah 5 * 4 * 3 * 2 * 1
  • Langkah 2: Hitung probabilitas keberhasilan yang dinaikkan ke pangkat dari jumlah keberhasilan yang px.
  • Langkah 3: Hitung probabilitas kegagalan yang dipangkatkan dengan selisih antara jumlah keberhasilan dan jumlah percobaan. Probabilitas kegagalan adalah 1-p. Jadi, ini mengacu pada perolehan (1-p) nx
  • Langkah 4: Temukan produk dari hasil yang diperoleh di Langkah 1, Langkah 2, dan Langkah 3.

Contoh

Anda dapat mendownload Template Excel Formula Distribusi Binomial ini di sini - Template Excel Formula Distribusi Binomial

Contoh 1

Jumlah percobaan (n) adalah 10. Probabilitas keberhasilan (p) adalah 0,5. Lakukan perhitungan distribusi binomial untuk menghitung kemungkinan mendapatkan tepat 6 keberhasilan.

Larutan:

Gunakan data berikut untuk kalkulasi distribusi binomial.

Perhitungan distribusi binomial dapat dilakukan sebagai berikut,

P (x = 6) = 10 C 6 * (0,5) 6 (1-0,5) 10-6

                = (10! / 6! (10-6)!) * 0,015625 * (0,5) 4

               = 210 * 0,015625 * 0,0625

Kemungkinan Mendapatkan Tepat 6 Keberhasilan  akan-

P (x = 6) = 0,205

Probabilitas untuk mendapatkan tepat 6 keberhasilan adalah 0,2051

Contoh # 2

Seorang manajer perusahaan asuransi memeriksa data polis asuransi yang dijual oleh penjual asuransi yang bekerja di bawahnya. Ia menemukan bahwa 80% orang yang membeli asuransi motor adalah laki-laki. Dia ingin mengetahui bahwa jika 8 pemilik asuransi motor dipilih secara acak, berapa probabilitasnya bahwa 5 di antaranya adalah laki-laki.

Solusi: Pertama-tama kita harus mencari tahu apa itu n, p, dan x.

Perhitungan distribusi binomial dapat dilakukan sebagai berikut,

P (x = 5) = 8 C 5 * (0.8) 5 (1-0.8) 8-5

               = (8! / 5! (8-5)!) * 0,32768 * (0,2) 3

              = 56 * 0,32768 * 0,008

Probabilitas Tepat 5 Keberhasilan  akan-

P (x = 5) = 0,14680064

Probabilitas tepat 5 pemilik asuransi kendaraan bermotor adalah laki-laki adalah 0,14680064.

Contoh # 3

Manajemen rumah sakit sangat senang dengan pengenalan obat baru untuk mengobati pasien kanker karena kemungkinan seseorang berhasil dirawat dengan sangat tinggi. Kemungkinan pasien berhasil dirawat dengan obat adalah 0,8. Obat tersebut diberikan kepada 10 pasien. Temukan kemungkinan 9 atau lebih pasien berhasil dirawat olehnya.

Solusi: Pertama-tama kita harus mencari tahu apa itu n, p, dan x.

Kami harus menemukan kemungkinan 9 atau lebih pasien berhasil dirawat olehnya. Dengan demikian, 9 atau 10 pasien berhasil dirawat olehnya

x (angka yang probabilitasnya harus dicari) = 9 atau x = 10

Kita harus menemukan P (9) dan P (10)

Perhitungan distribusi binomial untuk mencari P (x = 9) dapat dilakukan sebagai berikut,

P (x = 9) = 10 C 9 * (0.8) 9 (1-0.8) 10-9

               = (10! / 9! (10-9)!) * 0,134217728 * (0,2)

               = 10 * 0,134217728 * 0,2

Probabilitas 9 Pasien  akan-

P (x = 9) = 0,2684

Perhitungan distribusi binomial untuk mencari P (x = 10) dapat dilakukan sebagai berikut,

P (x = 10) = 10 C 10 * (0.8) 10 (1-0.8) 10-10

                  = (10! / 10! (10-10)!) * 0.107374182 * (0.2) 0

                  = 1 * 0,107374182 *

Kemungkinan 10 Pasien  akan menjadi-

P (x = 10) = 0,1074

Oleh karena itu, P (x = 9) + P (x = 10) = 0,268 + 0,1074

= 0,3758

Dengan demikian, kemungkinan 9 atau lebih pasien dirawat oleh obat tersebut adalah 0,375809638.  

Kalkulator Distribusi Binomial

Anda dapat menggunakan kalkulator distribusi binomial berikut.

n
p
x
Rumus Distribusi Binomial =
 

Rumus Distribusi Binomial =n C x * px * (1 -p) nx
0 C 0 * 0 0 * (1- 0) 0 - 0 =0

Relevansi dan Penggunaan

  • Hanya ada dua hasil
  • Probabilitas setiap hasil tetap konstan dari percobaan ke percobaan
  • Ada sejumlah percobaan tetap
  • Setiap percobaan bersifat independen yaitu saling eksklusif satu sama lain
  • Ini memberi kita distribusi frekuensi dari kemungkinan jumlah hasil yang berhasil dalam sejumlah uji coba di mana masing-masing uji coba yang diberikan ini memiliki probabilitas keberhasilan yang sama.
  • Setiap percobaan dalam percobaan binomial hanya dapat menghasilkan dua kemungkinan hasil. Makanya, namanya 'binomial'. Salah satu hasil ini dikenal sebagai kesuksesan dan yang lainnya sebagai kegagalan. Misalnya, orang yang sakit mungkin menanggapi pengobatan atau tidak.
  • Demikian pula, ketika kita melempar koin, kita hanya dapat memiliki dua jenis hasil: kepala atau ekor. Distribusi binomial adalah distribusi diskrit yang digunakan dalam statistik, yang berbeda dari distribusi kontinu.

Contoh eksperimen binomial adalah melempar koin, katakan tiga kali. Saat kita melempar koin, hanya 2 hasil yang mungkin - kepala dan ekor. Probabilitas setiap hasil adalah 0,5. Karena koin dilempar tiga kali, jumlah percobaan tetap yaitu 3. Probabilitas setiap lemparan tidak dipengaruhi oleh lemparan lainnya.

Distribusi binomial menemukan aplikasinya dalam statistik ilmu sosial. Ini digunakan untuk mengembangkan model untuk variabel hasil dikotomis di mana ada dua hasil. Contohnya adalah apakah Partai Republik atau Demokrat akan memenangkan pemilihan.

Rumus Distribusi Binomial di Excel (dengan templat excel)

Saurabh belajar tentang persamaan distribusi binomial di sekolah. Dia ingin mendiskusikan konsep tersebut dengan saudara perempuannya dan bertaruh dengannya. Dia berpikir bahwa dia akan melempar koin yang tidak bias 10 kali. Dia ingin bertaruh $ 100 untuk mendapatkan tepat 5 ekor dalam 10 lemparan. Untuk tujuan taruhan ini, dia ingin menghitung probabilitas mendapatkan tepat 5 ekor dalam 10 lemparan.

Solusi: Pertama-tama kita harus mencari tahu apa itu n, p, dan x.

Ada rumus bawaan untuk distribusi binomial adalah Excel yaitu

Ini adalah BINOM.DIST (jumlah keberhasilan, percobaan, kemungkinan sukses, SALAH).

Untuk contoh distribusi binomial ini adalah:

= BINOM.DIST (B2, B3, B4, FALSE) di mana sel B2 mewakili jumlah keberhasilan, sel B3 mewakili jumlah percobaan dan sel B4 mewakili probabilitas keberhasilan.

Oleh karena itu, perhitungan Distribusi Binomial akan menjadi-

P (x = 5) = 0,24609375

Probabilitas mendapatkan tepat 5 ekor dalam 10 lemparan adalah 0,24609375

Catatan: FALSE dalam rumus di atas menunjukkan fungsi massa probabilitas. Ini menghitung probabilitas tepat ada n keberhasilan dari n percobaan independen. TRUE menunjukkan Fungsi Distribusi Kumulatif. Ini menghitung kemungkinan ada paling banyak x keberhasilan dari n percobaan independen.